Questão de Física - ITA 2022 - Existe um limite inferior da distância Terra-Lua para que o nosso satélite

Existe um limite inferior da distância Terra-Lua para que o nosso satélite não se desintegre por efeitos de maré. Para determinar uma expressão aproximada dessa distância, considere a Lua como a composição de dois semi-satélites esféricos idênticos, homogêneos e em contato. Os corpos descritos realizam um movimento circular ao redor da Terra, cuja massa é dada por MT, com os três centros sempre colineares. A estabilidade da Lua é associada à tendência natural dessas duas metades manterem o contato entre si por efeitos gravitacionais. Considerando que o raio da lua RL é muito menor do que a distância Terra-Lua D e que MT é muito maior que a massa da Lua ML, faça o que se pede.

a) Considerando que os semi-satélites têm a mesma densidade da Lua, determine os seus raios r e massas m. Deixe sua resposta em termos dos dados do enunciado. 

b) Estime o valor mínimo de D para que a Lua não se desintegre. Deixe sua resposta em termos de MT, m e r.

RESPOSTA:

a) Como os semi-satélites são idênticos e constituem uma aproximação para a Lua, sua massa deve ser metade da massa da Lua:

Seus raios podem ser calculados a partir da densidade, que é a mesma da Lua:

b) Seja D a distância desde o centro da Terra ao centro da Lua, que, neste caso, consideramos como o ponto de contato entre os semi-satélites. Podemos construir a seguinte representação:

No caso limite, em que a Lua quase se desintegra, não existe força de contato entre os semi-satélites, de modo que a resultante centrípeta será dada unicamente pela soma das forças gravitacionais. Observe a representação das forças em cada um dos semi-satélites.

Para que a desintegração não aconteça, as duas metades devem permanecer girando com a mesma velocidade angular. Isolando 2 ω em cada uma das equações acima e igualando, segue: